آموزش معادله ماکسول (بررسی کامل معادلات ماکسول)
معادلات ماکسول اصول تئوری الکترومغناطیسی است که مجموعه ای از چهار معادله مربوط به میدان های الکتریکی و مغناطیسی را تشکیل می دهد. در این مقاله ما به جای لیست کردن نمایش ریاضی معادلات ماکسول، به اهمیت واقعی آن معادلات خواهیم پرداخت. معادله اول و دوم ماکسول به ترتیب با میدان های الکتریکی ساکن و میدان های مغناطیسی استاتیک سروکار دارد. معادله سوم و چهارم ماکسول به ترتیب با تغییر میدان های مغناطیسی و تغییر میدان های الکتریکی سرو کار دارد.
معادلات ماکسول به شرح زیر هستند :
- قانون الکتریسیته گاوس
- قانون مغناطیس گوس
- قانون القای فارادی
- قانون آمپر
همچنین مشاهده کنید : اندازه گیری قدرت میدان مغناطیسی با آردوینو
قانون الکتریسیته گاوس
این قانون بیان می کند که شار الکتریکی از یک سطح بسته، متناسب با کل بار محصور در آن سطح است. قانون گاوس با میدان الکتریکی ساکن سروکار دارد.
بگذارید یک بار نقطه مثبت Q در نظر بگیریم. ما می دانیم که خطوط شار الکتریکی از بار مثبت به سمت خارج هدایت می شوند.
بیایید یک سطح بسته را با شارژ Qenclosed در آن در نظر بگیریم. بردار ناحیه همیشه برای آن عادی انتخاب می شود زیرا جهت گیری سطح را نشان می دهد. بگذارید زاویه ساخته شده توسط بردار میدان الکتریکی با بردار مساحت θ باشد.
شار الکتریکی ψ برابر است با :
دلیل انتخاب محصول نقطه ای این است که ما باید محاسبه کنیم چه مقدار شار الکتریکی که توسط یک بردار منطقه طبیعی نشان داده می شود، از سطح عبور می کند.
از قانون کولومز، ما می دانیم که میدان الکتریکی (E) به دلیل شارژ نقطه ای، Q / 4πε0r2 است.
با در نظر گرفتن یک تقارن کروی، شکل انتگرالی قانون گاوس به شرح زیر است :
در اینجا Qenclosed نشان دهنده جمع برداری از تمام بارهای داخل سطح است. منطقه محصور کننده بار می تواند به هر شکلی باشد اما برای اعمال قانون گاوس، ما باید یک سطح گاوسی را انتخاب کنیم که متقارن باشد و توزیع بار یکنواختی داشته باشد. سطح گاوسی می تواند استوانه ای یا کروی یا صفحه ای باشد.
برای استخراج شکل دیفرانسیل آن، باید اصل واگرایی را اعمال کنیم.
معادله فوق شکل دیفرانسیل قانون گاوس یا معادله ماکسول I است.
در معادله فوق، ρ چگالی بار Volume را نشان می دهد. وقتی باید قانون گاوس را روی سطحی با بار خطی یا توزیع بار سطحی اعمال کنیم، راحت تر است که معادله را با چگالی بار نشان دهیم.
بنابراین می توان نتیجه گرفت که واگرایی یک میدان الکتریکی بر روی یک سطح بسته، مقدار بار (ρ) محصور شده توسط آن را می دهد. با اعمال واگرایی در یک میدان بردار، می توان فهمید که آیا سطح محصور شده توسط میدان بردار به عنوان منبع عمل می کند یا فروکش می شود.
بیایید یک مکعب کوچک را با بار مثبتی در نظر بگیریم همانطور که در بالا نشان داده شده است. وقتی ما برای میدان الکتریکی که از جعبه خارج می شود (مکعب) واگرایی اعمال می کنیم، نتیجهِ عبارت ریاضی به ما می گوید که جعبه (مکعب) در نظر گرفته شده، به عنوان منبع میدان الکتریکی محاسبه شده عمل می کند. اگر نتیجه منفی باشد، به ما می گوید که جعبه مانند یک حفره عمل می کند، یعنی جعبه یک بار منفی را در آن محصور می کند. اگر واگرایی صفر باشد، به این معنی است که هیچ باری در آن وجود ندارد.
از این طریق می توان نتیجه گرفت که تک قطبی های الکتریکی وجود دارند.
قانون مغناطیس گاوس
ما می دانیم که خط شار مغناطیسی از بیرون از قطب شمال به قطب جنوب جریان دارد.
از آنجا که خطوط شار مغناطیسی به دلیل یک آهنربا دائمی، چگالی شار مغناطیسی مرتبط (B) از آن وجود خواهد داشت. وقتی اصل واگرایی را بر روی سطوح S1، S2، S3 یا S4 اعمال می کنیم، می بینیم که تعداد خطوط شار ورودی و خروجی از سطح انتخاب شده ثابت است. بنابراین نتیجه اصل واگرایی صفر است. حتی در سطوح S2 و S4، واگرایی صفر است، به این معنی که نه قطب شمال و نه قطب جنوب به طور جداگانه مانند بارهای الکتریکی منبع کار نمی کنند یا فروکش نمی شوند. حتی وقتی واگرایی میدان مغناطیسی (B) را به دلیل سیم حامل جریان اعمال می کنیم، صفر می شود.
شکل انتگرال قانون گاوس:
شکل دیفرانسیل قانون مغناطیس گاوس:
از این طریق می توان نتیجه گرفت که تک قطبی مغناطیسی وجود ندارد.
قانون القا فارادی
قانون فارادی توضیح می دهد که وقتی تغییراتی در شار مغناطیسی ایجاد شود (با توجه به زمان تغییر می کند) یک سیم پیچ یا هر رسانایی را متصل می کند، یک EMF در سیم پیچ ایجاد می شود. لنز اظهار داشت که EMF ناشی از جهتی خواهد بود که با تغییر شار مغناطیسی تولید کننده آن مخالفت می کند.
در تصویر بالا، هنگامی که یک صفحه رسانا یا یک رسانا تحت تأثیر یک میدان مغناطیسی در حال تغییر قرار می گیرد، جریان گردشی در آن القا می شود. جریان به گونه ای القا می شود که میدان مغناطیسی تولید شده توسط آن با تغییر مغناطیسی که آن را ایجاد کرده مخالفت می کند. از این تصویر مشخص است که عوض شدن یا تغییر میدان مغناطیسی، یک میدان الکتریکی در حال گردش ایجاد می کند.
طبق قانون فارادی :
emf = - dϕ / dt
می دانیم که :
ϕ = closed surface ʃ B . dS emf = - (d/dt) ʃ B . dS
میدان اکتریکی E = V / d
V= ʃ E .dl
از آنجا که میدان الکتریکی با توجه به سطح (حلقه) تغییر می کند، یک اختلاف پتانسیل V وجود دارد.
بنابراین شکل انتگرال معادله چهارم ماکسول می شود :
با استفاده از اصل استوک :
دلیل استفاده از اصل استوک این است که وقتی یک حلقه چرخشی را از روی یک سطح بسته می گیریم، اجزای حلقه داخلی بردار یکدیگر را خنثی می کنند و این منجر به ارزیابی میدان برداری در امتداد مسیر بسته می شود.
از این رو می توانیم این چنین بنویسیم :
شکل دیفرانسیل معادله ماکسول به این صورت است :
از توضیح بالا، مشخص می شود که یک میدان مغناطیسی که نسبت به زمان تغییر می کند، یک میدان الکتریکی در حال گردش تولید می کند.
توجه: در الکترواستاتیک، حلقه یک میدان الکتریکی صفر است زیرا به صورت شعاعی از بار خارج می شود و هیچ جزء چرخشی در ارتباط با آن وجود ندارد.
قانون آمپر
قانون آمپر می گوید وقتی جریان الکتریکی از طریق سیم عبور می کند، یک میدان مغناطیسی در اطراف آن تولید می کند. از نظر ریاضی، انتگرال خط میدان مغناطیسی در اطراف یک حلقه بسته، کل جریان محصور شده توسط آن را می دهد.
ʃ B .dl = μ0 Ienclosed
از آنجا که میدان مغناطیسی به دور سیم حلقه می شود، می توانیم اصل استوک را در قانون آمپر اعمال کنیم.
بنابراین معادله می شود :
ما می توانیم جریان محصور شده را از نظر چگالی جریان J نشان دهیم.
B = μ0H با استفاده از این رابطه، می توانیم عبارت را به صورت زیر بنویسیم
وقتی واگرایی را به حلقه یک میدان برداری چرخان اعمال کنیم، نتیجه صفر است. به این دلیل است که سطح بسته به عنوان منبع یا سینک عمل نمی کند، یعنی تعداد شار ورودی و خروجی از سطح یکسان است. این را می توان از نظر ریاضی نشان داد :
بیایید یک مدار مانند زیر را در نظر بگیریم.
این مدار به خازنی متصل شده است. وقتی واگرایی را در منطقه S1 اعمال کنیم، نتیجه نشان می دهد که صفر نیست. در علامت گذاری ریاضی :
در مدار جریان وجود دارد اما در خازن، به دلیل تغییر میدان الکتریکی در سراسر صفحات، بارها منتقل می شوند. بنابراین از نظر فیزیکی جریانی از آن عبور نمی کند. ماکسول این شار الکتریکی در حال تغییر را به عنوان جریان جابجایی (JD) ایجاد کرد. اما ماکسول با توجه به تقارن قانون فارادی، اصطلاح جریان جابجایی (JD) را ابداع کرد، یعنی اگر یک میدان مغناطیسی با تغییر در زمان، یک میدان الکتریکی تولید کند، سپس با تقارن، با تغییر میدان الکتریکی، یک میدان مغناطیسی تولید شود.
حلقه شدت میدان مغناطیسی (H) در منطقه S1 است :
شکل انتگرال معادله چهارم ماکسول را می توان به صورت زیر بیان کرد :
شکل دیفرانسیل معادله چهارم ماکسول به شرح زیر است :
همه این چهار معادله یا به صورت انتگرال و یا به صورت دیفرانسیل جمع شده به عنوان معادله ماکسول نامیده می شوند.
همچنین پیشنهاد میکنم مقاله تحلیل جریان مش را نیز بخوانید.
میخواهید برنامه نویسی STM32 را یاد بگیرید؟
میخواهید الکترونیک را یاد بگیرید؟
میخواهید آردوینو را به صورت پروژه محور یاد بگیرید؟ برای مشاهده توضیحات روی دوره مورد نظر کلیک کنید
