آموزش روش اویلر در متلب (محاسبه معادلات دیفرانسیل)

روش اویلر یک روش عددی است که امکان حل ساده معادلات دیفرانسیل (معادلات دیفرانسیل معمولی) را می دهد. هنگامی که برای حل معادله دیفرانسیل مشکل دارید و میخواهید سریعا به پاسخ برسید میتوانید از این روش محبوب استفاده کنید.

در اینجا خواهیم دید که چگونه می توانید از روش اویلر برای حل معادلات دیفرانسیل در متلب استفاده کنید. لازم به ذکر است که تنها زمانی می توانید از این روش استفاده کنید که مقدار شرط اولیه معادله دیفرانسیل موردنظر را برای حل آن داشته باشید.

روش اویلر

در اینجا چند روش به روش Forward Euler اضافه شده است که در همان دسته قرار می گیرند.

تفاوت رو به جلو

تفاوت عقب افتاده

تفاوت مرکزی

روش اویلر در متلب

مثال روش تفاوت جلو

بیایید معادله زیر را در نظر بگیریم

راه حل این معادله دیفرانسیل به شرح زیر است

آنچه ما در اینجا سعی داریم انجام دهیم این است که از روش اویلر برای حل معادله و ترسیم آن در کنار نتیجه دقیق استفاده کنیم تا بتوانیم در مورد صحت روش عددی قضاوت کنیم.

برای حل این معادله با استفاده از روش اویلر ، موارد زیر را انجام می دهیم

اگر فرمول اولر جلو را با ظاهری متفاوت بازنویسی کنیم

با جایگزینی این عبارت در معادله ای که سعی در حل آن داریم ، موارد زیر به دست می آید

اگر آن را در نظر بگیریم

و معادله را بر این اساس بازنویسی می کنیم ، بدست می آوریم

با خیال راحت عبارت بالا را ساده کنید. در این مرحله ، ما آماده شروع برنامه نویسی در Matlab هستیم.

کد متلب:

h=0.1; % سایز هر گام
N=10; % تعداد گام ها
y(1)=1;
for n=1:N
y(n+1)= y(n)+h*(-6*y(n));
x(n+1)=n*h;
end
plot(x,y)

نمودار:

بیایید اندازه گام ها را کاهش دهیم و ببینیم چگونه بر دقت تأثیر می گذارد

کد متلب

h=0.01; % سایز گام
N=100; % تعداد گام 
y(1)=1;
for n=1:N
y(n+1)= y(n)+h*(-6*y(n));
x(n+1)=n*h;
end
plot(x,y,'r')

نمودار

این نتیجه گیری به ما می گوید که وقتی مقدار h را کاهش می دهیم ، خطا کاهش می یابد. آیا می توانیم بهترین نمودار خود را با نمودار دقیق مقایسه کنیم؟

در اینجا کدی است که به ترسیم نمودار دقیق کمک می کند

x=0:0.001:1;
y=exp(-6.*x);
plot(x,y,'g')

با نگاهی به نمودار بالا می توان متوجه شد که هر دو نمودار نزدیک به هم هستند.

برای توابع ساده مانند آنچه که ما اخیراً آزمایش کردیم ، استفاده از این روش اویلر می تواند به نظر دقیق برسد ، اما وقتی صحبت از سیستم های پیچیده می شود ، ممکن است این بهترین روش عددی برای تقریب رساندن نمودار ODE ها نباشد.