آموزش الکترونیکالکترونیک

فیلتر باترورث چیست؟ آموزش کامل فیلتر های Butterworth

فیلترهای برقی کاربرد های بسیاری دارند و به طور گسترده ای در بسیاری از مدارهای پردازش سیگنال مورد استفاده قرار می گیرند. برای انتخاب یا حذف سیگنال های فرکانس انتخاب شده در یک طیف کامل از ورودی داده شده استفاده می شود. بنابراین فیلتر برای عبور سیگنال های فرکانس انتخاب شده از آن یا حذف سیگنال های فرکانس منتخب از آن استفاده می شود.

در حال حاضر، انواع مختلفی از فیلترها وجود دارد و از بسیاری جهات آن ها را از هم تفکیک می کند. و ما بسیاری از فیلترها را در آموزش های قبلی پوشش داده ایم، اما محبوب ترین فیلتر ها براساس موارد زیر هستند :

  1. آنالوگ یا دیجیتال
  2. فعال یا غیر فعال
  3. فرکانس صوتی یا رادیویی
  4. انتخاب فرکانس

فیلتر های آنالوگ یا دیجیتال

ما می دانیم که سیگنال های تولید شده توسط محیط ماهیتی آنالوگ دارند در حالی که سیگنال های پردازش شده در مدارهای دیجیتال ماهیت دیجیتالی دارند. برای دریافت نتیجه مطلوب باید از فیلترهای مربوطه برای سیگنال های آنالوگ و دیجیتال استفاده کنیم. بنابراین ما باید هنگام پردازش سیگنال های آنالوگ از فیلترهای آنالوگ و در هنگام پردازش سیگنال های دیجیتال از فیلترهای دیجیتال استفاده کنیم.

فیلتر های فعال یا غیرفعال

فیلترها نیز بر اساس اجزای استفاده شده هنگام طراحی فیلترها تقسیم می شوند. اگر طراحی فیلتر کاملاً مبتنی بر اجزای غیرفعال باشد (مانند مقاومت، انداکتور خازن)، فیلتر را فیلتر غیرفعال می نامند. از طرف دیگر، اگر هنگام طراحی مدار از یک جز فعال (آمپر، منبع ولتاژ، منبع جریان) استفاده کنیم، فیلتر را فیلتر فعال می نامند.

برای یادگیری آردوینو (برنامه نویسی، ساخت ربات، ارتباط با اندروید) روی دوره آموزش آردوینو کلیک کنید.
برای یادگیری کامل الکترونیک روی دوره آموزش الکترونیک کلیک کنید.

با محبوبیت بیشتر، فیلتر فعال بر فیلتر غیر فعال ترجیح داده می شود زیرا مزایای بیشتری دارد. در زیر به چند مورد از این مزایا اشاره شده است :

  1. مشکلی در بارگیری وجود ندارد : می دانیم که در یک مدار فعال از یک اُپ آمپر استفاده می کنیم که دارای امپدانس ورودی بسیار بالا و امپدانس خروجی کم است. در این حالت وقتی فیلتر فعال را به مدار متصل می کنیم، جریان کشیده شده توسط op آمپر بسیار ناچیز خواهد بود زیرا دارای امپدانس ورودی بسیار بالایی است و در نتیجه مدار هنگام اتصال فیلتر هیچ باری را احساس نمی کند.
  2. انعطاف پذیری تطبیق بهره : در فیلترهای غیرفعال، افزایش یا تقویت سیگنال امکان پذیر نیست زیرا هیچ اجزای خاصی برای انجام چنین کاری وجود ندارد. از طرف دیگر، در یک فیلتر فعال، ما یک op آمپر داریم که می تواند باعث افزایش بهره یا تقویت سیگنال در سیگنال های ورودی شود.
  3. انعطاف پذیری تطبیق فرکانس : فیلترهای فعال در هنگام تنظیم فرکانس قطع در مقایسه با فیلترهای غیرفعال، از انعطاف پذیری بالاتری برخوردار هستند.

پیشنهاد میکنم مقاله فیلتر هارمونیک را نیز بخوانید.

فیلتر های مبتنی بر فرکانس صوتی یا رادیویی

اجزای مورد استفاده در طراحی فیلتر بسته به کاربرد فیلتر یا محل استفاده از تنظیمات تغییر می کنند. به عنوان مثال، فیلترهای R-C برای برنامه های صوتی یا فرکانس پایین در حالی که فیلترهای L-C برای رادیو یا برنامه های با فرکانس بالا استفاده می شود.

فیلتر های مبتنی بر انتخاب فرکانس

فیلترها همچنین بر اساس سیگنال هایی که از فیلتر می گذرند نیز تقسیم می شوند.

فیلتر پایین گذر:

تمام سیگنال های بالای فرکانس های انتخاب شده ضعیف می شوند. آن ها دو نوع فیلتر پایین گذر فعال و فیلتر پایین گذر غیر فعال هستند. پاسخ فرکانس فیلتر پایین گذر در زیر نشان داده شده است. در اینجا نمودار نقطه ای نمودار ایده آل فیلتر پایین گذر و نمودار واضح پاسخ واقعی یک مدار عملی است. این اتفاق افتاده است زیرا یک شبکه خطی نمی تواند سیگنال ناپیوسته تولید کند. همانطور که در شکل نشان داده شده است، سیگنال ها پس از رسیدن به فرکانس قطع fH، میرایی را تجربه می کنند و پس از یک فرکانس بالاتر، سیگنال های داده شده در ورودی کاملاً مسدود می شوند.

فیلتر پایین گذر

فیلتر بالا گذر :

تمام سیگنال های بالای فرکانس های انتخاب شده در خروجی ظاهر می شوند و یک سیگنال زیر آن فرکانس مسدود می شود. آنها بر دو نوع فیلتر بالا گذر فعال و فیلتر بالا گذر غیر فعال هستند. پاسخ فرکانس یک فیلتر عبور بالا در زیر نشان داده شده است. در اینجا، یک نمودار نقطه ای، نمودار ایده آل فیلتر بالا گذر و یک نمودار واضح، پاسخ واقعی یک مدار عملی است. این اتفاق افتاده است زیرا یک شبکه خطی نمی تواند سیگنال ناپیوسته تولید کند. همانطور که در شکل نشان داده شده است تا زمانی که سیگنالها فرکانس بیشتری از فرکانس قطع fL داشته باشند، آنها میرایی را تجربه می کنند.

فیلتر بالا گذر

فیلتر میان گذر :

همچنین اگر در مورد این مطلب سوالی داشتید در انتهای صفحه در قسمت نظرات بپرسید

در این فیلتر، فقط سیگنال های محدوده فرکانس انتخاب شده مجاز به خروجی هستند، در حالی که سیگنال های هر فرکانس دیگر مسدود می شوند. پاسخ فرکانس فیلتر میان گذر در زیر نشان داده شده است. در اینجا نمودار نقطه ای نمودار ایده آل فیلتر میان گذر و نمودار واضح پاسخ واقعی یک مدار عملی است. همانطور که در شکل نشان داده شده است، سیگنال های موجود در دامنه فرکانس از fL تا fH در حالی که سیگنال های دیگر میرایی را تجربه می کنند، اجازه می دهند از فیلتر عبور کنند. در اینجا درباره فیلتر میان گذر اطلاعات بیشتری کسب کنید.

فیلتر میان گذر

فیلتر میان نگذر :

عملکرد فیلتر میان نگذر دقیقاً برعکس فیلتر میان گذر است. تمام سیگنال های فرکانسی که دارای مقدار فرکانس در محدوده باند انتخاب شده ارائه شده در ورودی هستند، توسط فیلتر مسدود می شوند در حالی که سیگنال های هر فرکانس دیگر مجاز به نمایش در خروجی هستند.

فیلتر عبوری :

سیگنال هایی با هر فرکانسی مجاز به عبور از این فیلتر هستند به جز اینکه تغییر فاز را تجربه می کنند.

بر اساس برنامه و هزینه، طراح می تواند فیلتر مناسبی را از انواع مختلف آن انتخاب کند.

اما در اینجا می توانید بر روی نمودارهای خروجی مشاهده کنید که نتایج مطلوب و واقعی دقیقاً یکسان نیستند. اگرچه این خطا در بسیاری از برنامه ها مجاز است، اما گاهی اوقات به فیلتر صحیح تری نیاز داریم که نمودار خروجی آن بیشتر به سمت فیلتر ایده آل متمایل است. این پاسخ تقریباً ایده آل را می توان با استفاده از تکنیک های خاص طراحی، اجزای دقیق و op آمپرهای با سرعت بالا به دست آورد.

فیلترهای باترورث ، Caur و Chebyshev از رایج ترین فیلترهایی هستند که می توانند منحنی پاسخ ایده آل را ارائه دهند. در آن ها، ما در اینجا فیلتر باترورث را مورد بحث قرار خواهیم داد زیرا محبوب ترین فیلتر از بین سه مورد است.

ویژگی های اصلی فیلتر باترورث  :

  • این یک فیلتر مبتنی بر R-C  آپ آمپر (تقویت کننده عملیاتی) است.
  • این یک فیلتر فعال است بنابراین در صورت لزوم می توان بهره آن را تنظیم کرد.
  • مشخصه اصلی باترورث این است که یک میان گذر مسطح و یک استاپ باند مسطح دارد. به همین دلیل است که معمولاً “فیلتر مسطح تخت” نامیده می شود.

حال اجازه دهید برای درک بهتر، مدل مدار فیلتر پایین گذر باترورث را بررسی کنیم.

فیلتر باترورث پایین گذر درجه یک

شکل، مدل مدار فیلتر پایین گذر درجه یک وجود را نشان می دهد.

فیلتر باترورث پایین گذر درجه یک

در مداری که داریم :

  • ولتاژ “Vin” به عنوان یک سیگنال ولتاژ ورودی که ماهیت آنالوگ دارد.
  • ولتاژ “Vo” ولتاژ خروجی آمپلی فایر عملیاتی است.
  • مقاومت های ‘RF’ و ‘R1’ مقاومت بازخورد منفی آمپلی فایر عملیاتی هستند.
  • یک شبکه R-C وجود دارد (در مربع قرمز مشخص شده است) در مدار وجود دارد بنابراین فیلتر یک فیلتر پایین گذر درجه یک است.
  • ‘RL’ مقاومت بار است که در خروجی Op آمپر متصل می شود.

اگر از قاعده تقسیم ولتاژ در نقطه V1 استفاده کنیم پس می توانیم ولتاژ را از خازن بدست آوریم ،

V1 = [ -jXc / (R-jXc) ] Vin  Here –jXc = 1/2ᴫfc

پس از جایگزینی این معادله، چیزی مانند زیر خواهیم داشت

V1 = Vin / (1+j2ᴫfRC)

حالا آپ آمپ در اینجا در پیکربندی بازخورد منفی استفاده می شود و برای چنین حالتی معادله ولتاژ خروجی به صورت زیر داده می شود:

V = ( 1 + RF / R1 ) V1 . 

این یک فرمول استاندارد است و برای جزئیات بیشتر می توانید به مدارهای آمپر عملیاتی نگاه کنید.

اگر معادله V1 را به Vo بدهیم ،

V0 = (1 + RF / R1) [Vin / (1 + j2ᴫfRC) ]

پس از بازنویسی این معادله ،

V / Vin = AF / ( 1 + j(f/fL) )

در این معادله :

  • V / Vin =  بهره فیلتر به عنوان یک عملکرد بسامد
  • AF = (1+R/ R1) = بهره میان گذر فیلتر
  • f = بسامد سیگنال ورودی
  • fL = 1 / 2ᴫRC = بسامد قطع فیلتر. ما می توانیم از این معادله برای انتخاب مقدار مقاومت و خازن مناسب برای انتخاب بسامد قطع مدار استفاده کنیم

اگر معادله فوق را به فرم قطبی تبدیل کنیم ،

فرمول دو قطبی معادله باترورث

ما می توانیم از این معادله برای مشاهده تغییر در مقدار بهره با تغییر در فرکانس سیگنال ورودی استفاده کنیم.

مورد 1 : f<<fL . بنابراین بیایید در نظر بگیریم که فرکانس ورودی بسیار کمتر از فرکانس قطع فیلتر در آن زمان است

میزان تغییر فیلتر باترورث فرمول

بنابراین هنگامی که فرکانس ورودی بسیار کمتر از فرکانس قطع فیلتر است، پس مقدار آن تقریباً برابر با بهره op آمپر است.

مورد 2 :  f = fL. اگر فرکانس ورودی برابر با فرکانس قطع فیلتر باشد ،

آموزش فرمول اولیه فیلتر باترورث

بنابراین هنگامی که فرکانس ورودی برابر با فرکانس قطع فیلتر است، سپس مقدار بهره 0.707 برابر بیشتر از بهره op آمپر است.

مورد 3 : f >fL . اگر فرکانس ورودی بالاتر از فرکانس قطع فیلتر باشد ،

فرمول خروجی فیلتر باترورث

همانطور که از الگوی مشاهده می کنید، بهره فیلتر همان بهره op آمپر است تا زمانی که فرکانس سیگنال ورودی کمتر از فرکانس قطع باشد. اما هنگامی که فرکانس سیگنال ورودی به فرکانس قطع می رسد، بهره همانطور که در مورد دو مشاهده می شود، ناچیز کاهش می یابد. و هرچه فرکانس سیگنال ورودی بیشتر شود، بهره به تدریج کاهش می یابد تا به صفر برسد. بنابراین فیلتر پایین گذر باترورث اجازه می دهد تا سیگنال ورودی در خروجی ظاهر شود تا زمانی که فرکانس سیگنال ورودی کمتر از فرکانس قطع باشد.

اگر نمودار پاسخ فرکانس مدار فوق را ترسیم کرده باشیم ،

نمودار فیلتر پایین گذر باترورث

همانطور که در نمودار دیده می شود، بهره تا زمانی که فرکانس سیگنال ورودی از مقدار فرکانس قطع عبور نکند، خطی خواهد بود و هنگامی که اتفاق می افتد، میزان بهره به میزان قابل توجهی کاهش می یابد، بنابراین مقدار ولتاژ خروجی نیز کاهش می یابد.

فیلتر پایین گذر باترورث درجه دوم

شکل مدل مدار فیلتر پایین گذر باترورث درجه 2 را نشان می دهد.

فیلتر پایین گذر باترورث درجه دوم

در مدار ما داریم :

  • ولتاژ “Vin” به عنوان یک سیگنال ولتاژ ورودی که ماهیت آنالوگ دارد.
  • ولتاژ “Vo” ولتاژ خروجی آمپلی فایر عملیاتی است.
  • مقاومت های ‘RF’ و ‘R1’ مقاومت بازخورد منفی آمپلی فایر عملیاتی هستند.
  • یک شبکه R-C دوتایی (با مربع قرمز مشخص شده) در مدار وجود دارد از این رو فیلتر یک فیلتر پایین گذر مرتبه دوم است.
  • ‘RL’ مقاومت بار است که در خروجی op آمپر متصل می شود.

مشتق فیلتر باترورث پایین گذر درجه دو

فیلترهای درجه دوم مهم هستند زیرا فیلترهای درجه بالاتر با استفاده از آنها طراحی می شوند. میزان بهره فیلتر درجه دوم توسط R1 و RF تنظیم می شود، در حالی که فرکانس قطع fH با مقادیر R2، R3، C2 C3 تعیین می شود. مشتق برای فرکانس قطع به شرح زیر آورده شده است

fH = 1 / 2ᴫ(R2R3C2C3)1/2

معادله افزایش ولتاژ برای این مدار را نیز می توان به روشی مشابه قبلی یافت و این معادله در زیر آورده شده است ،

معادله افزایش ولتاژ فیلتر باترورث درجه دو

در این معادله :

  • V / Vin = بهره فیلتر به عنوان یک عملکرد بسامد
  • AF = (1+R/ R1) = بهره میان گذر فیلتر
  • f = بسامد سیگنال ورودی
  • fH = 1 / 2ᴫ(R2R3C2C3)1/2  = فرکانس قطع فیلتر. ما می توانیم با استفاده از این معادله مقاومت و خازن مناسب را برای انتخاب فرکانس قطع مدار انتخاب کنیم. همچنین اگر همان مقاومت و خازن را در شبکه R-C انتخاب کنیم، معادله می شود

معادله فیلتر پایین گذر باترورث درجه دو

ما می توانیم معادله بهره ولتاژ را مشاهده کنیم تا تغییر در مقدار بهره را با تغییر مربوطه در فرکانس سیگنال ورودی مشاهده کنیم.

مورد 1 : f<<fH . بنابراین بیایید در نظر بگیریم که فرکانس ورودی بسیار کمتر از فرکانس قطع فیلتر است ،

آموزش محاسبه بهره در فیلتر باترورث درجه 2

بنابراین هنگامی که فرکانس ورودی بسیار کمتر از فرکانس قطع فیلتر است، پس مقدار آن تقریباً برابر با بهره op آمپر است.

مورد 2 :  f = fH. اگر فرکانس ورودی برابر با فرکانس قطع فیلتر باشد، پس

فیلتر پایین گذر butterworth

بنابراین هنگامی که فرکانس ورودی برابر با فرکانس قطع فیلتر است، سپس مقدار بهره 0.707 برابر بیشتر از بهره op آمپر است.

مورد 3 : f >fH . اگر فرکانس ورودی خیلی بیشتر از فرکانس قطع فیلتر است سپس

بهره فیلتر پایین گذر باترورث درجه 2

مشابه فیلتر درجه اول، بهره فیلتر همانند بهره آمپر است تا زمانی که فرکانس سیگنال ورودی کمتر از فرکانس قطع باشد. اما هنگامی که فرکانس سیگنال ورودی به فرکانس قطع می رسد، بهره همانطور که در مورد دو مشاهده می شود، ناچیز کاهش می یابد. و هرچه فرکانس سیگنال ورودی بیشتر شود، بهره به تدریج کاهش می یابد تا به صفر برسد. بنابراین فیلتر پایین گذر باترورث اجازه می دهد تا سیگنال ورودی در خروجی ظاهر شود تا زمانی که فرکانس سیگنال ورودی کمتر از فرکانس قطع باشد.

اگر نمودار پاسخ فرکانس مدار فوق را ترسیم کنیم ،

نمودار پاسخ مدار فیلتر باترورث پایین گذر درجه دو

حال ممکن است از خود بپرسید که تفاوت فیلتر درجه یک با فیلتر درجه دو چیست؟ پاسخ در نمودار است، اگر با دقت مشاهده کنید می توانید بعد از عبور فرکانس سیگنال ورودی از فرکانس قطع، نمودار افت شدیدی را بینید و این افت در درجه دو نسبت به درجه یک آشکارتر است. با این شیب تند، فیلتر  باترورث درجه دو نسبت به فیلتر باترورث درجه یک بیشتر به نمودار فیلتر ایده آل متمایل خواهد بود.

این برای فیلتر باترورث پایین گذر درجه یک ، فیلتر باترورث پایین گذر درجه دو و غیره به همین ترتیب است. هرچه درجه فیلتر بیشتر باشد، نمودار بهره بیشتر به یک نمودار فیلتر ایده آل متمایل می شود. اگر نمودار بهره را برای فیلترهای درجه بالاتر باترورث ترسیم کنیم، چیزی شبیه به این خواهیم داشت ،

نمودار بهره بالا برای فیلتر باترورث

در نمودار، منحنی سبز نشان دهنده منحنی ایده آل فیلتر است و می توانید ببینید که درجه فیلتر باترورث نمودار بهره آن را بیشتر به سمت منحنی ایده آل متمایل می کند. بنابراین بالاترین درجه بهره فیلتر باترورث ، ایده آل ترین منحنی بهره خواهد بود. با این اوصاف شما نمی توانید به راحتی فیلتر درجه بالاتر را انتخاب کنید زیرا با افزایش درجه از دقت فیلتر کاسته می شود. از این رو بهتر است در حین مراقبت از دقت لازم، درجه فیلتر مناسب را انتخاب کنید.

میخواهید برنامه نویسی STM32 را یاد بگیرید؟

دوره آموزش STM32

میخواهید الکترونیک را یاد بگیرید؟

دوره آموزش الکترونیک
دوره آموزش آردوینو

میخواهید آردوینو را به صورت پروژه محور یاد بگیرید؟ برای مشاهده توضیحات روی دوره مورد نظر کلیک کنید

برای دریافت مطالب جدید در کانال تلگرام یا پیج اینستاگرام آیرنکس عضو شوید.

محمد رحیمی

محمد رحیمی

محمد رحیمی هستم. سعی میکنم در آیرنکس مطالب مفید را قرار دهم. (در خصوص سوال در مورد این مطلب از قسمت نظرات همین مطلب اقدام کنید) سعی میکنم تمام نظرات را پاسخ دهم.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *